Abstrakt

Die Sharpe Ratio (SR) von Sharp (1966) ist ein häufig verwendetes Performancemaß zum Vergleich von Fonds oder zur Erstellung von Fondsrankings. Die SR weist jedoch einige Einschränkungen und bekannte Mängel auf, die in der Literatur ausgiebig diskutiert wurden.

Dowd (1999) hob hervor, wie wichtig es ist, sich mit Netto- statt mit Brutto-Portfoliogewichtungen zu befassen, und schlug vor, bei der Risiko-Rendite-Analyse einen Value-at-Risk (VaR)-Ansatz zu verwenden.

Dowd (2000) wies auf die einschränkende Annahme hin, dass die Renditen der für die Berechnung der SR verwendeten Assets normalverteilt sind.

Harding (2002) kritisierte die Definition des Risikos bei der Konstruktion der SR. Er argumentierte, dass die Rendite eines Assets eine eindeutige und aussagekräftige Größe ist, das Risiko hingegen nicht.

Harding (2002) sah das Problem, dass große positive Renditen bei der Berechnung der SR benachteiligt werden. Die Herausnahme der höchsten Renditen aus einer Datenreihe könnte die SR sogar erhöhen, indem sie das "Risiko" verringert – ein Fall von "reductio ad absurdum".

Goetzman et al. (2002) zeigten, dass die SR mit optionsähnlichen Strategien manipuliert werden kann.

Lo (2002) argumentierte, dass die Bestandteile der SR unbekannte Größen sind, die statistisch geschätzt werden müssen und daher mit Schätzfehlern behaftet sind.

Cerny (2003) stellte fest, dass die SR eng mit dem quadratischen Nutzen zusammenhängt, und argumentierte, dass es eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen dem auf dem Markt erreichbaren maximalen quadratischen Nutzen und der SR gibt.

Die beiden wichtigsten allgemein vorherrschenden Kritikpunkte sind, dass (1) Investmentfonds mit negativen Renditen nicht sinnvoll mit der SR verglichen werden können und (2), wenn die Renditeverteilungen von der Normalität abweichen, dies zu falschen Ergebnissen führen kann.

Daher verwendeten wir zwei Performancemessungen, welche die SR verfeinerten: die Israelsen's Sharpe Ratio (ImSR) und die neue R-Sharpe Ratio (RSRp), um die Performance von Fonds mit negativen Renditen zu bewerten. Anschließend wurde in dieser Studie untersucht, welche Ansätze zur Performancemessung bei einer nicht-normalen Verteilung der Vermögenserträge effizient waren. Darüber hinaus setzten wir moderne Performancemaße ein, um Abwärtsrisiken zu berechnen.

Wir erhoben die täglichen Renditen von 26 Aktienfonds von September 2021 bis September 2022. Diese Fonds repräsentierten die Peergroup "Aktiendachfonds global - dynamisch" des GELD-Magazins, Nr. 11/2022.

Die Studie hat ergeben, dass die Wahl des Performancemaßes einen Einfluss auf die Rankingergebnisse der verwendeten Peergroup und damit auf die Bewertung hat.

1. Einleitung

Die moderne Portfoliotheorie von Markowitz, welche auf einem Mü-Sigma-Modell basiert, besagt, dass Anleger immer das optimale Portfolio mit der höchsten Sharpe Ratio (SR) innerhalb einer Peergroup wählen. Nach Van & Duong (2021) ist die SR ein gut verständliches Performancemaß. Außerdem geht das Mean-Variance-Modell davon aus, dass der Anleger einen negativen exponentiellen Nutzen hat und die Renditen risikobehafteter Vermögenswerte normalverteilt sind. Aus der bisherigen Literatur geht hervor, dass die SR zu Verzerrungen bei der Performancebewertung führt, wenn (1) die Renditen negativ sind und (2) die Renditeverteilung von der Normalverteilung abweicht, da die SR im Rahmen des Mean-Variance-Modells unter der strengen Annahme quadratischer Präferenzen oder normalverteilter Renditen abgeleitet wurde. Wenn die Renditen negativ sind oder die Renditeverteilungen von der Normalverteilung abweichen, kann dies zu falschen Ergebnissen führen. Daher wird in dieser Studie untersucht, welche Ansätze zur Performancemessung bei negativen Renditen und nicht-normalverteilten Vermögenserträgen effizient sind. Wir erheben die täglichen Renditen von 26 Aktienfonds von September 2021 bis September 2022. Anschließend verwenden wir die SR und zwei Performance-Maße, welche die SR verfeinert (Israelsens's Sharpe Ratio, ImSR, und R-Sharpe Ratio, RSRp) haben, um die Performance von Aktienfonds in der negativen Marktphase 2022 zu bewerten. Darüber hinaus setzen wir drei moderne Performancemaße (Modifizierte MVaR Sharpe Ratio, Lower Partial Moments, LPM, und Omega Ratio) ein, um das Downside-Risiko zu berechnen. Das Abwärtsrisiko einer Investition ist der maximale Verlust, der aufgrund der Unsicherheit der realisierten Rendite auftreten kann (Dowd, 2005). In einem typischen Verteilungsdiagramm sind Anleger mit einer langfristigen Position besorgt über Renditen, welche auf der rechten Seite der Verteilung auftreten, und Anleger mit einer kurzfristigen Position blicken auf die linke Seite der Verteilung. Daher benötigen Anleger Performancemaße, die Aufschluss über das Abwärtsrisikopotenzial geben und gleichzeitig in der Lage sind, potenzielle Renditen zu erfassen, die auf der rechten Seite des Verteilungsdiagramms liegen. Alle drei Schätzer berücksichtigen die ersten vier Momente der Verteilung bei der Berechnung der Performancemaße.

Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: Kapitel 1 dient der Einleitung. In Kapitel 2 werden die beiden Methoden der verfeinerten SR erläutert und drei Ansätze zur Berechnung von nichtparametrischen Schätzungen und Abwärtsrisiken vorgestellt. Die Datengrundlage und Forschungsmethodik werden in Kapitel 3 beschrieben. In Kapitel 4 werden die empirischen Ergebnisse der Studie erläutert. Das letzte Kapitel fasst die gewonnen Erkenntnisse zusammen.

2. Ansätze zur Performancemessung

2.1 Ansätze zur Performancemessung bei negativen Renditen

Mehrere alternative Verfeinerungen der ursprünglichen SR wurden entwickelt, um Fonds in Zeiten negativer Überrenditen zu bewerten. Wir stellen fest, dass modifizierte Versionen der SR im Allgemeinen zu ähnlichen Leistungseinstufungen führen wie die ursprüngliche SR.

2.1.1 Performancemessungen, die auf der Volatilität beruhen

Die Normalverteilung basiert auf der Annahme, dass alle Renditen symmetrisch um deren Mittelwert verteilt sind. Sie ist ein theoretisches Modell und wird durch die Parameter „Erwartungswert“ und „Varianz“ vollständig definiert. Die Normalverteilung stellt eine gute Näherung für die langfristige Rendite des globalen Anleihen- und Aktienmarktes dar.

2.1.2 Die ImSR

Viele Studien haben Anpassungen der traditionellen SR vorgeschlagen, um zwei Hauptmängel zu überwinden, nämlich die Unfähigkeit, negative Renditen und höhere Momente zu berücksichtigen. Beispielsweise schlägt die Studie von Israelsen (2005) vor, einen Exponenten zur Standardabweichung (Risiko-Nenner) hinzuzufügen, um die SR-Schätzung zu verbessern, wenn die Überschussrenditen (rp − rf) negativ sind.

Die ImSR wird anhand der historischen Renditen wie folgt berechnet:

2.1.3 RSRp

Die RSRp-Variante von Roland Rupprechter basiert auf der Überlegung, Risikoprämien so zu adjustieren, dass sich damit auch Portfolios/Fonds mit negativen Renditen entsprechend ihrem Erwartungswert/Varianz-Verhältnis korrekt in Rankings einordnen lassen. Die RSRp gibt die um Delta(s) adjustierte Risikoprämie pro Einheit übernommenen Gesamtrisikos an. Dabei ist Delta(s) = Delta (rpw;1) = s2 – s1, wobei rpw das arithmetische Mittel der Renditen des ertragsschwächsten Portfolios der Vergleichsgruppe darstellt. Die RSRp wird anhand der historischen Renditen wie folgt berechnet:

Generell gilt: Je höher die RSRp, desto besser ist das Rendite-Risiko-Verhältnis eines bestimmten Fonds. Die Anwendung dieser Methode ist sinnvoll, wenn Fonds negative Renditen aufweisen. Die RSRp ist einfach zu berechnen und liefert konsistente, nachvollziehbare Ergebnisse. Anlageklassenübergreifende Vergleiche sind möglich, wenn die zu vergleichenden Fonds ähnliche Verteilungsmerkmale aufweisen.

2.2 Performance-Maße für Downside Risiken

Liegen nicht-normalverteilte Renditen vor, so werden die Risiken, die mit Fat Tails oder linksschiefen Verteilungen verbunden sind, deutlich unterschätzt und die Performance zu positiv dargestellt (Favre & Singer, 2002). Schon die Einführung von Derivaten in ein Portfolio kann eine positive oder negative Schieflage (Skewness) der Renditeverteilung bewirken und gleichzeitig einen Einfluss auf die Wölbung (Kurtosis) der Renditeverteilung nehmen. Eine Veränderung der Schieflage und Wölbung der Renditenverteilung wiederum hat zur Folge, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Rendite zu erzielen, sich verändert und die Wahrscheinlichkeitsannahmen der Normalverteilung nicht mehr vollständig zutreffen.

In diesem Kontext beziehen Favre & Galeano (2002) die Schiefe und die Wölbung in die Berechnung mit ein, indem sie auf Basis der Cornish- Fisher-Entwicklung den Modified Value at Risk herleiten.

Ferner stellt gemäß Chen, He & Zhang (2011) die Omega Ratio eine weitere nützliche Kennzahl im Zusammenhang mit nicht-normalverteilten Renditen und Downside-Risiken dar.

2.2.1 Modifizierte (MVaR) SR

Nach Gregoriou & Gueyie (2003) betrachtet die modifizierte SR die Überschussrendite eines Assets im Verhältnis zu einem modifizierten Value at Risk, wobei dieses Verhältnis die normale SR um die Faktoren Schiefe und Kurtosis erweitert.

Nach Gregoriou et al. (2003) kann die Formel mathematisch wie folgt definiert werden:

2.2.2 Lower Partial Moments (LPM)

Die Berechnung der Performancemaße auf Basis der LPM ist mit der Berechnung der SR vergleichbar (Rottmann & Franz, 2008). Dabei wird die Überrendite, die sich als Differenz zwischen der durchschnittlichen Anlagerendite und einer Mindestrendite oder dem risikolosen Zinssatz ergibt, mit den entsprechenden LPM-Maßen relativiert.

Die LPM messen lediglich negative Abweichungen von der Ziel- bzw. Mindestrendite. Dadurch wird dem Risikoverständnis der Investoren im Vergleich zur Standardabweichung bei asymmetrischen Renditeverteilungen eher Rechnung getragen. Im Gegensatz zu den LPM-Maßen fließen bei der Berechnung der Standardabweichung sowohl positive als auch negative Abweichungen der Rendite vom Erwartungswert ein. Der Vorteil der LPM-Maße ist, dass keine Voraussetzungen im Hinblick auf die Verteilungsform erfüllt sein müssen. Die LPM-Maße können bei jeder beliebigen Verteilung der Renditen angewandt werden.

Als Mindestrendite τ werden in der Literatur 0 Prozent als nominelle Kapitalerhaltung, die Inflationsrate als reale Kapitalerhaltung, der risikofreie Zins als Erzielung der Mindest-Opportunitätskosten, der Erwartungswert der Rendite eines bestimmten Anlageobjekts als Sicherung der erwarteten Vermögensmehrung und ein Marktindex als Performancevergleich mit dem Markt vorgeschlagen.

Beim Vorliegen einer Stichprobe im Umfang von T Beobachtungen ergibt sich folgende verteilungsfreie Schätzfunktion des LPM-Maßes der n-ten Ordnung:

Was den Parameter n betrifft, so kann LPM mit der Ordnung 0 < n < 1 ein "risikofreudiges", für n = 1 ein "risikoneutrales" und für n > 1 ein "risikoaverses" Verhalten des Anlegers ausdrücken.

Je höher n ist, desto risikoaverser ist der Anleger. Die LPMs der Ordnung 0 und 1 stellen die Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. den erwarteten Ausfall dar.

2.2.3 Omega Ratio

Das Omega-Maß von Shadwick & Keating (2002) sowie Cascon et al. (2003) liefert einen Rahmen, der die Anforderung nach Einbezug höherer Momente erfüllt, da das Omega-Maß die Renditeverteilung in ihrer Gesamtheit betrachtet und auch keine parametrische Annahme der Verteilung erfordert. Mit dem Ziel eines „universellen“ Leistungsmaßes soll das Maß die Unzulänglichkeiten von Leistungskennzahlen basierend auf dem Mean-Varianz-Framework. Obwohl es sich um eine neuere Entwicklung handelt, haben Kazemi et al. (2003) argumentiert, dass die Kennzahl kein neues Konzept im Finanzbereich ist, sie stimmen jedoch darin überein, dass sie auf neuartigen Interpretationen bestehender Methoden zur Leistungsmessung basiert. Das Omega-Verhältnis berücksichtigt Renditen über und unter einer bestimmten Renditeschwelle und bestimmt das wahrscheinlichkeitsgewichtete Verhältnis von Gewinnen zu Verlusten relativ zur Renditeschwelle.

Omega (Ω) wird durch Anpassung der Überschussrendite mit den LPM-Maßen der Ordnung 1, 2 oder 3 berechnet.

Nach Bacon (2008) ist die Omega SR einfach Ω - 1, was zu identischen Performance-Rankings wie die ursprüngliche Omega Ratio führen sollte. Omega kann nach Keating & Shadwick (2002) mathematisch wie folgt dargestellt werden:

3. Datengrundlage und Forschungsmethodik

Wir berechneten die stetigen täglichen Renditen auf der Grundlage der täglichen Rücknahmewerte der Aktienfonds. Für die Performanceanalyse verwendeten wir den Zeitraum von September 2021 bis September 2022. Die Wahl des Ein-Jahres-Zeitraums wurde mit der Existenz negativer Überrenditen im Jahr 2022 begründet.

Ein weiteres Argument für diesen Zeithorizont war die Möglichkeit, die gewonnenen Ergebnisse aus der Anwendung verschiedener Performancemaße mit jenen der Peergroup des GELD-Magazins vergleichen zu können.

Für die Zielrendite (Threshhold-Return) verwendeten wir 10 %, für den risikofreien Zinssatz 0,50 %. Frühere Analysen zeigen, dass die Wahl des Zinssatzes wenig oder gar keinen Einfluss auf die Ergebnisse hat. Obwohl durch die Wahl des Zinssatzes Niveauunterschiede entstehen können, haben sie keinen Einfluss auf die Rangfolge (Roßbach, 1991).

Wir erhoben die täglichen Renditen von 26 Aktienfonds von September 2021 bis September 2022. Diese Fonds repräsentierten die Peergroup "Aktiendachfonds global-dynamisch" des GELD-Magazins, Nr. 11/2022.

4. Empirische Resultate

4. 1 Ergebnisse der Ansätze zur Performancemessung bei negativen Renditen

4.1.1 Ranking auf Basis der Renditen

Tabelle 1 zeigt die ersten beiden Momente der Vergleichsgruppe. Wie aus der Tabelle hervorgeht, weisen alle Fonds negative Renditen auf. Der Fonds mit der geringsten Volatilität (12,74 %) weist eine höhere Rendite auf als der Fonds mit der höchsten Volatilität (22,28 %).

4.1.2 Rangfolge nach Anwendung der SR

Tabelle 2 zeigt die Rangfolge auf Basis der SR. Infolge der negativen Aktienmarktentwicklung 2022 weisen alle Fonds eine negative SR auf. In solchen Fällen wird es oft als paradox angesehen, dass ein Fonds mit größerer Standardabweichung und schwächerer Performance dennoch einen höheren (weniger negativen) Excess Return bzw. Überschussrendite aufweisen kann und somit als "besser" gilt. Diesen Effekt haben wir auch in unserer Studie beobachtet. Die Tabelle 2 zeigt, dass der Fonds in Position 5 trotz seiner höheren Volatilität und niedrigeren Rendite die bessere SR im Vergleich zum Fonds in Position 1 aufweist. Wir empfehlen daher, dass die SR in Phasen negativer Renditen nicht zur Performancebewertung herangezogen werden sollte.

4.1.3 Ranking bei Verwendung der ImSR

Israelsen (2005) fügte der Standardabweichung (Risiko-Nenner) einen Exponenten hinzu, um die SR zu verbessern. Tabelle 3 zeigt die Rangfolge auf Basis der ImSR. Wie zu sehen ist, ergibt die Verwendung der ImSR eine konsistentere Rangfolge als die SR. Ein Blick auf Abbildung 1 zeigt jedoch, dass die Ergebnisse nicht genau die Verteilungen der vier besten Fonds widerspiegeln. Wir empfehlen daher, die ImSR mit Vorsicht für die Leistungsbewertung von Fonds zu verwenden.

4.1.4 Ranking auf Basis der RSRp

Die Lösung von Roland Rupprechter besteht darin, einen Differenzwert aus Delta (rpw; 1) zum Zähler der SR (Überschussrendite) hinzuzufügen. Die höhere Überschussrendite dividiert durch die Standardabweichung ergibt (1) positive Zahlen und (2) lässt das Rendite-Risiko-Verhältnis im Vergleich zur SR unverändert. Die Anwendung dieser Modifikation führt zu einer intuitiven Rangfolge. Dies wird durch die Verteilungsdarstellungen in Abbildung 1 bestätigt. Der Fonds mit der engsten Verteilung führt auch die Rangliste in Tabelle 4 an. Die drei weiteren in der Grafik zu sehenden Fonds entsprechen ebenfalls der Rangfolge, wie sie in der Tabelle 4 zu sehen ist. Daraus lässt sich schließen, dass die RSRp, mit Blick auf das Markowitz-Mittelwert-Varianz-Modell, korrekte, risikobereinigte Rangfolgen erzeugt, wenn alle oder einige Renditen der Peergroup-Fonds negativ sind.

4.2 Ergebnisse der Downside Performance-Messung

4.2.1 Modifizierte SR (MVaR)

Für die Berechnung der MVaR haben wir das GARCHNIG-Modell eingesetzt. Die Anpassung der Überschussrendite mit dem modifizierten Value at Risk ergibt die modifizierte MVaR SR (MSR). Unsere Analyse zeigt, dass die Bandbreite der MSR-Ergebnisse mit -1,94 % bis -7,60 % unerwartet groß war. Der Mittelwert lag bei 4,27 %.

Die größte Überraschung war, dass ein Fonds mit einer Volatilität von -7,22 %, die immerhin im ersten Quintil liegt, das zweitschlechteste MSR-Ergebnis erzielte. Durch die Verwendung der MSR konnten wir erhebliche Verlustrisiken für Anleger erkennen. Daher kann die isolierte Varianzbetrachtung irreführend sein.

4.2.2 LPM

Bevor wir mit der LPM-Analyse begannen, testeten wir die Fondsrenditen mit dem Jarque-Bera (JB)-Test auf ihre Verteilungen. Der JB-Test ist ein statistischer Test, der Schiefe und Kurtosis in den Daten verwendet, um zu prüfen, ob eine Normalverteilung vorliegt, und wurde von Jarque & Bera (1980) vorgeschlagen.

Die Normalverteilung ist eine Grundannahme für viele statistische Tests, wie den t-Test oder den F-Test. Eine Normalverteilung hat eine Schiefe von Null (d. h. sie ist vollkommen symmetrisch um den Mittelwert) und eine Wölbung von drei. Die Wölbung gibt an, wie viele Daten sich in den linken und rechten Verteilungsenden befinden, und vermittelt eine Vorstellung davon, wie "spitz" die Verteilung ist. Es ist nicht notwendig, den Mittelwert oder die Standardabweichung der Daten zu kennen, um den JB-Test durchzuführen.

Bei einem Signifikanzniveau von 5 % wird die Hypothese der Normalverteilung zurückgewiesen, wenn JB > 6 ist. Dieser Wert wurde von 7 der 26 Fonds der Peergroup überschritten. Es ist daher sinnvoll, eine differenziertere Untersuchung mit den LPMs durchzuführen.

Wie Tabelle 5 zeigt, kam es bei der Betrachtung der „Lower Partials“ zu großen Verschiebungen in der Rangfolge. Die größte Verschiebung war der Sprung eines Fonds um 12 Plätze nach vorne. Wie die Kennzahl LMP(0) zeigt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass Verluste bei diesem Fonds auftreten, bei 52 %. Wenn es zu Verlusten kommt, liegen diese im Durchschnitt bei 0,374 % auf Tagesbasis. Dies zeigt der Wert LMP(1). Dieser Fonds profitierte von seiner überdurchschnittlich rechtsschiefen Verteilung im Vergleich zur Vergleichsgruppe. Die Betrachtung der „Lower Partials“ bzw. Downside Risiken ist immer dann bedeutsam, wenn die Daten nicht mit den symmetrischen Verteilungsannahmen der SR übereinstimmen.

4.2.3 Omega Ratio

Wie in Keating & Shadwick (2002a, 2002b) dargelegt, wird die Omega Ratio für ein Asset, dessen Rendite r eine kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F hat und θ der Schwellenwert für die Zielrendite ist (der definiert, was als Gewinn versus Verlust angesehen wird), wie folgt definiert:

Wenn die Variable θ auf Null gesetzt wird, steigt das Gewinn-Verlust-Verhältnis, was nach Bernardo & Ledoit (2000) ein Spezialfall darstellt. Das Argument für die Omega-Ratio im Vergleich zur SR und anderen traditionellen Risikokennzahlen ist, dass es von der gesamten Renditeverteilung durch die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F abhängt und nicht von bestimmten Momenten in Bezug auf deren Wert und ihrem Vorhandensein, was es intellektuell sehr attraktiv macht, so Benhamou et al. (2020). Bei einem θ-Wert von 2,0 % ist das Verhältnis Ω(θ) definiert als das Verhältnis der roten Fläche zur grünen Fläche (vergleiche Abbildung 2).

Die Omega Ratio hilft zu verstehen, wie gut eine Anlagestrategie das Tail-Risiko abmildert. Für die Omega-basierte Leistungsbeurteilung eines Fonds wird der Vergleich mit anderen Fonds empfohlen. Ein Beispiel aus der Vergleichsgruppe: Der Fonds mit der tiefsten Volatilität (blaue Linie) der Peergroup (Tabelle 1) wies im einjährigen Betrachtungszeitraum ein tieferes Downside Risiko auf als jener Fonds auf Platz 26 (rote Linie). Dies hat jedoch seine Kosten: Der Preis für den Schutz auf der Abwärtsseite ist der Verzicht auf einen Teil der Erträge auf der Aufwärtsseite. Abbildung 3 veranschaulicht diesen Zielkonflikt.

Schlussfolgerungen

Obwohl die SR ein beliebtes Performancemaß ist, hat sie verschiedene Einschränkungen. Wenn die Renditen negativ sind oder die Renditeverteilungen von der Normalverteilung abweichen, kann dies zu falschen Ergebnissen führen. Negative SR entstehen, wenn die Performances von Investmentfonds hinter dem risikofreien Zinssatz zurückgeblieben sind. Wenn dann Anleger den Fonds mit der höchsten SR (geringstes Minus) wählen, wählen sie den Fonds mit der größten Volatilität und nicht den mit der geringsten Volatilität, da eine negative Zahl geteilt durch eine große Zahl größer ist, als eine negative Zahl geteilt durch eine kleine Zahl. Daher verwendeten wir zwei Performancemaße, welche die SR verfeinert haben, die ImSR und die RSRp, um die Performance von Fonds mit negativen Renditen zu bewerten. Unsere empirischen Ergebnisse zeigen, dass die ImSR und die RSRp ein konsistenteres Ranking ergeben als die SR. Aufgrund des unveränderten Verhältnisses zwischen Risiko und Rendite im Vergleich zur SR können wir schlussfolgern, dass die RSRp - mit Blick auf das Markowitz-Mittelwert-Varianz-Modell - korrekte, risikobereinigte Rankings erstellt, wenn alle oder einige Renditen der Fonds negativ sind. Wir untersuchten auch drei moderne Performancemaße (Modifizierte MVaR SR, LPM und Omega Ratio), um Abwärtsrisiken zu berechnen. Die Ergebnisse zeigten, dass es Abwärtsrisiken gibt, die mit dem Varianzmodell nicht erkannt werden können.

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