摘要

夏普（Sharp，1966 年）提出的夏普比率（Sharpe ratio）是一种常用的业绩衡量方法，用于比较基金或创建基金排名。然而，夏普比率也有一些局限性和众所周知的缺点，这些在文献中已被广泛讨论。

Dowd（1999）强调了处理投资组合净风险敞口而非总风险敞口的重要性，并建议采用风险价值（VaR）方法进行风险收益分析。

Dowd (2000) 指出，计算夏普比率时所用的资产收益是正态分布的，这是一个限制性假设。

Harding (2002) 批评了构建夏普比率时的风险定义。他认为，资产收益率是一个确定且有意义的量，而风险则不是。

Harding (2002) 认为，在计算夏普比率时，大额正收益会受到惩罚。从数据序列中剔除最高收益实际上可以通过降低 "风险 "来提高夏普比率--这是一个 "荒谬的还原 "案例。

Goetzman、Ingersoll、Spiegel 和 Welch（2002 年）的研究表明，可以通过类似期权的策略来操纵夏普比率。

Lo（2002 年）认为，夏普比率的成分是未知量，必须通过统计方法进行估计，因此会受到以下因素的影响 因此会出现估计误差。

Cerny（2003）发现夏普比率与二次效用密切相关，并认为市场上可达到的最大二次效用与夏普比率之间存在一一对应的关系。

普遍存在的两大批评意见是：（1）使用夏普比率无法对收益为负的共同基金进行有意义的比较；（2）当收益分布偏离正态时，可能会导致不合理的结果。

因此，我们采用了两种改进了夏普比率的绩效衡量方法，即 Israelsen 夏普比率和新的 R-Sharpe 比率，来评价负收益基金的绩效。然后，本研究探讨了哪些业绩衡量方法对资产收益分布的非正态性有效。此外，我们还采用现代绩效衡量方法来计算下行风险。

我们收集了 26 只股票基金在 2021 年 9 月至 2022 年 9 月期间的每日回报。这些基金代表了《GELD-Magazin》第 11/2022 期的 "全球股票型基金--动态 "同行组。 研究表明，业绩衡量标准的选择会对所使用的同行组的排名结果产生影响，进而影响评估结果。

1. 导言

马科维茨基于均值-方差模型的现代投资组合理论表明，投资者总是在可行集合内选择夏普比率最高的最优风险投资组合。Van 和 Duong（2021 年）认为，夏普比率是绩效衡量的自然定义。此外，均值方差模型假定投资者具有负指数效用，且风险资产收益呈正态分布。

之前的文献表明，夏普比率（SR）会在以下两种情况下产生业绩评估偏差：（1）回报率为负值；（2）回报率分布偏离正态分布，因为夏普比率是在均值-方差模型下得出的，严格假设回报率为二次偏好或习惯分布。当收益为负或收益分布偏离正态分布时，可能会导致不合理的结果。因此，本研究探讨了哪些绩效衡量方法对负收益和资产收益分布的非正态性有效。

我们收集了 26 只股票型基金在 2021 年 9 月至 2022 年 9 月期间的日收益率。然后，我们采用夏普比率和两种绩效衡量方法，即改良夏普比率、伊斯拉森斯夏普比率和 R-Sharpe 比率，来评估股票型基金在 2022 年负市场阶段的表现。此外，我们还采用了三种现代绩效衡量方法（修正 MVAR 夏普比率、下部分矩和欧米茄比率）来计算下行风险。投资的下行风险是指由于已实现收益的不确定性而可能造成的最大损失（Dowd，2005 年）。在典型的分布图中，持有长期头寸的投资者担心的是落在分布右侧的收益，而持有短期头寸的投资者关注的是分布图的左侧。因此，投资者需要能提供潜在下行风险信息的业绩衡量指标，同时也要能捕捉到分布图右侧的潜在收益。在计算绩效指标时，所有三个估计器都考虑了分布的前四个矩。

本章的具体内容安排如下。第 2 节回顾了精炼夏普比率的两种方法，并介绍了计算非参数估计和下行风险的三种方法。 第 3 节介绍了数据基础和研究方法。第 4 节介绍研究的实证结果。最后一节是结论。

2. 衡量绩效的方法

2. 1 衡量负收益绩效的方法

对原始夏普比率进行了几种改进，以对负超额收益时期的基金进行排名。我们发现，修改后的夏普比率与原始夏普比率相比，通常能得出更一致的业绩排名。

2.1.1 基于波动性的绩效衡量

正态分布的假设前提是所有收益都围绕其均值对称分布。它是一个理论模型，完全由参数 "期望值 "和 "方差 "定义。正态分布是全球债券和股票市场长期回报率的良好近似值。

2.1.2 伊斯拉森的修正夏普比率

许多研究建议对传统的夏普比率进行调整，以克服两个主要缺点，即无法考虑负收益和高矩阵。例如，Israelsen（2005 年）的研究建议在标准差（风险分母）上添加一个指数，以便在超额收益（rp - rf）为负值时改进夏普比率估计值。

伊斯拉森的修正夏普比率（ImSRp）使用历史回报率计算如下：

2.1.3 R-Sharpe 比率

Roland Rupprechter 提出的 R-Sharpe 比率法是基于调整风险溢价的理念，即根据预期收益/方差比率对负收益的投资组合或基金进行正确排序。 R-Sharpe 比率表示按每单位总风险承担的 delta(s) 调整后的风险溢价。这里，delta(s) = delta (rpw;1) = s2 - s1，其中 rpw 是同行组中表现最差的投资组合收益的算术平均值。 R-Sharpe 比率（RSRp）使用历史回报率计算如下：

一般规则是，R-Sharpe 比率越高，特定基金的回报风险表现越好。如果基金的收益风险比为负值，则可以合理使用这种方法。R-Sharpe 比率的计算非常简单，得出的结果在逻辑上也易于理解。如果要比较的基金具有相似的分布特征，则可以进行跨资产类别比较。

2.2 负面绩效衡量

如果收益不是正态分布，例如基金使用期权进行杠杆或对冲，那么与肥尾或左偏分布相关的风 险就会被大大低估，业绩表现也会过于正面 Favre/Singer (2002)。在投资组合中使用衍生工具会导致收益分布的正偏度或负偏度，同时对收益分布的峰度产生影响。收益分布偏度和峰度的变化反过来又会导致实现某一收益的概率发生变化，正态分布的概率假设不再完全适用。

这也是 Favre 和 Galeano（2002 年）根据康尼什-费舍发展法得出修正的风险价值，将偏度和峰度纳入计算的原因。

此外，根据 Chen、He 和 Zhang（2011 年）的研究，欧米茄比率是另一个在非正态分布回报和下行风险情况下有用的比率。

2.2.1 修正（MVaR）夏普比率

根据 Gregoriou 和 Gueyie（2003 年）的观点，修正夏普比率考虑的是投资的超额收益与修正风险价值的比率，该比率通过偏度和峰度因素扩展了正常夏普比率。

根据 Gregoriou 等人（2003 年）的研究，该公式的数学定义如下：

2.2.2 下部分矩

由于 LPM 只考虑收益率与 τ 的负偏差，因此与同时考虑预期收益率负偏差和正偏差的标准偏差相比，LPM 似乎是更合适的风险度量。LPM 度量的优势在于无需满足分布形式方面的先决条件。LPM 度量可适用于任何收益分配。

文献中提出了 0% 的最低收益率 τ 作为名义资本保值，通货膨胀率作为实际资本保值，无风险利率作为实现最低机会成本，特定资产收益的预期值作为确保财富的预期增长，市场指数作为与市场表现的比较。

给定 T 个观测值的样本，就能得到 n 阶 LPM 度量的以下无分布估计值：

关于参数 n，阶数为 0 < n < 1 的 LPM 可以表示投资者的 "风险寻求 "行为，n = 1 表示 "风险中性 "行为，n > 1 表示 "风险规避 "行为。因此，n 越大，投资者的风险规避程度越高。阶数为 0 和 1 的 LPM 分别为亏空概率和预期亏空。

2.2.3 欧米茄比例

Keating 和 Shadwick（2002b）以及 Keating 和 Shadwick（2002a）在一项具有启发性的研究中介绍了欧米茄比率，并声称这种旨在纠正传统均值-方差分析中信息贫乏问题的通用绩效衡量方法可以解决这些问题。他们强调，与传统的衡量方法相比，欧米茄衡量方法具有极大的优势，可以囊括所有关于风险和回报的信息，因为它取决于全部回报分布，而且由于这种衡量方法适用于所有水平，因此每个投资者都有权审视自己的风险偏好水平，从而避免了对特定水平的审视。

严格来说，欧米茄比率的定义是，在给定的预期收益水平下，收益与损失的概率加权比率。用金融术语来说，这一比率决定了相对于收益阈值的投资赌注的质量。

欧米茄（Ω）的计算方法是用 1、2 或 3 级 LPM 指标调整超额收益。

根据培根（2008 年）的观点，欧米茄夏普比率仅为 Ω - 1，其产生的业绩排名应与原始欧米茄 (Ω) 比率相同，具体表示如下 Keating & Shadwick (2002 年)：

3. 数据和研究方法

我们根据股票共同基金的每日赎回价值计算稳定的每日回报。

我们使用 2021 年 9 月至 2022 年 9 月这段时间进行绩效分析。之所以选择一年的时间间隔，是因为 2022 年股市的负增长阶段会导致负的超额收益。

采用这种时间跨度的另一个理由是，在采用不同的绩效衡量标准后，可以将风险调整后的结果和下行风险结果与 GELD-Magazin 的同行组（按回报率排名）进行比较。

对于临界收益率，我们使用 10%，对于无风险利率，我们使用 0.50%。以往的分析表明，利率的选择对结果几乎没有影响。尽管利率的选择可能导致水平差异，但它们对排名没有任何影响，Roßbach（1991）。

我们收集了 2021 年 9 月至 2022 年 9 月期间 26 只股票基金的每日回报。这些基金是《GELD-Magazin》第 11/2022 期 "全球股票型基金--动态 "的同类基金。

4. 经验结果

4. 1 负收益绩效衡量方法的结果

4.1.1 基于回报的排名

表 1 报告了同类基金的前两个矩阵。从表中可以看出，所有基金的回报率均为负值。与波动率最高的基金（22.28%）相比，波动率最低的基金（12.74%）的回报率更高。

4.1.2 应用夏普比率进行排名

表 2 列出了基于夏普比率的排名。由于股市表现不佳，2022 年所有基金的夏普比率均为负值。在这种情况下，标准差较大、业绩较差的基金可能具有较高的（负值较小的）超额收益夏普比率，从而被认为是 "较好 "的基金，这通常被认为是自相矛盾的。我们在研究中也发现了这种效应。表 2 显示，与位置 1 的基金相比，位置 5 的基金尽管波动率较高，收益率较低，但其 SR 更优。因此，我们建议，在业绩评估中，不应使用负收益阶段的 SR。

4.1.3 使用伊斯拉森夏普比率的排名

Israelsen（2005 年）在标准差（风险分母）上添加了一个指数，以提高夏普比率。表 3 列出了基于 Israelsen 夏普比率（ImSR）的排名。我们可以看到，ImSR 比 SR 得出的排名更加一致。但观察图 1，我们发现结果并不完全反映前四名基金的分布情况。 因此，我们建议在进行业绩评估时应谨慎使用 ImSR。

4.1.4 基于 R-Sharpe 比率的排名

作者的解决方案是在夏普比率（超额收益）的分子中加入一个恒定差值（delta rpw; 1）。较高的超额收益除以标准差的结果是：(1) 正数；(2) 与 SR 相比，风险收益比保持不变。使用这种修改方法可以得出直观的排名。图 1 的结果证实了这一点。分布范围最窄的基金在排名中领先。从图中可以看出，其他三个基金也符合表 4 中的排名。因此，我们可以得出结论，根据马科维茨均值-方差模型的观点，如果同类基金的全部或部分回报率为负值，R-Sharpe 比率可以得出正确的风险调整排名。

4.2 负面绩效衡量结果

4.2.1 修正（MVaR）夏普比率

在计算 MVaR 时，我们使用了由 GARCHNIG 模型创建的白噪声误差项。用修正的风险价值调整超额收益，得出修正的 MVAR 夏普比率（MSR）。我们的分析表明，MSR 结果的范围出乎意料地大，从 -1.94% 到 -7.60%。平均值为 4.27%。

最令人吃惊的是，波动率在第一五分位数的基金的结果为-7.22%，是第二差的基金。通过使用 MSR，我们可以看到投资者可能遭受的巨大损失风险。因此，方差结果可能具有误导性，因为其他一些基金可能会造成与该基金类似的巨大损失，但方差无法发现这些损失。

4.2.2 下局部矩 (LPM)

在开始 LPM 分析之前，我们用 Jarque-Bera (JB) 检验法测试了基金收益的分布情况。JB 检验是由 Jarque 和 Bera（1980 年）提出的一种统计检验方法，利用数据的偏度和峰度来检验是否存在正态分布。

正态性是许多统计检验（如 t 检验或 F 检验）的假设条件之一。正态分布的偏度为零（即围绕均值完全对称），峰度为 3；峰度说明了尾部数据的多少，并给出了分布的 "峰值"。要进行该测试，并不需要知道数据的平均值或标准差。

在 5%的显著性水平下，如果 JB > 6，则拒绝正态分布假设。 26 个基金中有 7 个超过了这一数值。因此，利用下偏矩形进行更复杂的调查是有意义的。

如表 5 所示，在考虑较低部分时刻时，排名发生了重大变化。有一家基金的排名上升了 12 位，这是最大的变化。他的亏损概率为 52%。如果出现亏损，平均亏损率为 0.374%。与同类基金相比，该基金的右偏分布高于平均水平。 因此，当数据不符合夏普比率加权假设时，使用下偏矩就变得非常重要。

4.2.3 欧米茄比例

如 Keating 和 Shadwick (2002b) 以及 Keating 和 Shadwick (2002a) 所述，对于回报率 r 具有累积概率分布函数 F 的资产，θ 是目标回报率阈值，定义了收益与损失，奥米茄比率定义为

当 θ 设为零时，Bernardo 和 Ledoit 提出的盈亏比就会作为一种特例出现 Bernardo 和 Ledoit (2000)。与夏普比率和其他传统风险比率相比，欧米茄比率的卖点在于，乍一看，它似乎通过累积概率分布函数 F 依赖于整个收益分布，在价值甚至存在方面也不依赖于任何特定的时刻，这使得它在思想上极具吸引力，因此 Benhamou、Guez、Paris（2020）认为。从图形上看，θ 值为 2.00%，累积分布如图 2 所示，Ω(θ) 比率定义为红色区域与绿色区域之比。

欧米茄比率有助于了解投资策略在多大程度上减轻了尾部风险。顾问需要比较几个基金的欧米茄比率，以正确评估这一点。以同类基金为例：表 1 中波动率最低的基金（蓝线）在一年考察期内的损失限制优于排在第 26 位的基金（红线）。然而，这样做是有代价的： 下行保护的代价是放弃部分上行回报。图 3 说明了这种权衡。

结论

尽管夏普比率是一种常用的业绩衡量方法，但它也有各种局限性。夏普比率可能是负值。如果共同基金的表现低于无风险利率，就会出现这种情况。如果投资者选择夏普比率最高的基金，他们选择的是波动性最大的基金，而不是波动性最小的基金，因为负数除以大数大于负数除以小数。因此，我们使用了两个对夏普比率进行了改进的绩效衡量指标，即伊斯拉森夏普比率（ImSR）和R-夏普比率（RSR），来评估负收益基金的绩效。我们的实证研究结果表明，与夏普比率相比，ImSR 和 RSR 得出的排名更为接近。与 SR 相比，RSR 的风险收益比没有变化，因此我们可以得出结论，根据马科维茨均值方差模型的观点，如果同类基金的全部或部分收益为负，RSR 会产生正确的风险调整排名。我们还研究了三种现代绩效衡量方法（修正 MVAR 夏普比率、下部分矩和欧米茄比率），以计算下行风险。结果表明，存在方差模型无法发现的下行风险。

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